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方阵问题(方阵问题的所有公式) ♂
方阵问题(方阵问题的所有公式)方阵问题:如何用最短的路线走完方阵的每一个格子?
方阵问题是一个经典的计算几何问题,它涉及到许多算法、数据结构、优化等数学概念,一直以来备受关注。这个问题的本质是:给定一个n行m列的方阵,你能否找出一条从其中任意一个格子出发,经过所有的格子,最终回到起点的路径,并且这条路径的长度最短?
在本文中,我们将从方阵问题的定义、历史渊源以及相关算法来探究这一问题。
一、方阵问题的定义
方阵问题是一个经典的计算几何问题,它可以用一个图来表述。一个$n$行$m$列的方阵可以看做是一个含有$n imes m$个个点的图,在图中,任意两个点之间都有一条边相连。
给定一个方阵,它的问题就是求它的哈密顿回路(Hamiltonian circuit)。哈密顿回路是指从起点出发,经过图中所有的点(顶点)恰好一次,最终回到起点的路径。而在方阵问题中,要求哈密顿回路的长度最短。
二、方阵问题的历史渊源
方阵问题的历史可以追溯至19世纪末的欧洲,当时一些著名的数学家,如伯努利、欧拉、汉密尔顿等,对数学中的图论问题进行了深入的研究。而在20世纪60年代初,在计算机科学的发展中,由于哈密顿回路的NP完全性质被证明,使得问题更加引人注目。
三、方阵问题的算法
对于方阵问题,最简单的算法就是枚举所有可能的哈密顿回路,然后从中选出最短的一条。但这通常需要计算$O(n!)$个长为$O(n)$的路径,效率极其低下。因此,研究者们提出了一系列高效的算法。
(1)深度优先搜索(DFS)
DFS是一种使用栈和递归实现的搜索算法,它通过优先到达某个顶点,从而依次遍历所有的顶点。在哈密顿回路问题中,DFS可以列举所有的哈密顿回路,但是它的效率并不高。
(2)广度优先搜索(BFS)
BFS是一种使用队列实现的搜索算法,它按照距离优先的原则逐层扩展,并保证对于每个顶点,首次到达时路径就是最小的。在哈密顿回路问题中,BFS可以列举所有的哈密顿回路,并求得最短路径。但是,BFS的时间复杂度通常很高,因此我们需要其他更优秀的算法。
(3)分支限界法(Branch and Bound)
分支限界法是一种优化搜索的算法,其主要思想是通过限制搜索的范围和使用合适的剪枝策略,从而提高搜索效率。在哈密顿回路问题中,分支限界法可以对搜索树进行优化,节点数可以大幅减少,从而提高计算效率。
(4)动态规划(Dynamic Programming)
动态规划是一种基于“最优子结构”的优化方法,它将问题分解成若干子问题,通过求解子问题来求解原问题。在哈密顿回路问题中,动态规划能够对子问题的搜索进行优化,从而提高求解效率。
四、总结
通过以上的介绍,我们知道了方阵问题是一个复杂的计算几何问题,解决该问题需要相关算法的支持。本文主要介绍了四种算法:DFS、BFS、分支限界法和动态规划。尽管这些算法在某些情况下具备高效的计算能力,但实际上,很多实际问题并不能够十分完美地套用其中的任何一种方法。因此,我们需要灵活使用各种算法及结构,在不同问题的求解过程中达到最优的效果。
【所有公式】方阵问题的解法,让你成为数学达人!
方阵问题是高中数学里比较复杂的问题之一,在数学学科竞赛中也常常出现。解决方阵问题需要掌握一些重要的公式,下面就为大家介绍一下这些公式。
一、行列式的定义及性质
行列式是方阵的一个数值,它将一些数映射到一个实数。它的定义是,对于二阶方阵:
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc
$$
对于三阶方阵:
$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
d & e \\
g & h
\end{vmatrix}
$$
其中,竖线表示行列式。行列式还有一些性质,比如转置、交换行列式的行或列、某一行或列乘以一个常数等等,更详细的信息可以在数学教材中找到。
二、伴随矩阵和逆矩阵
伴随矩阵和逆矩阵是求解方阵问题的重要工具。伴随矩阵是原矩阵的行列式转置,再每个元素乘以-1的矩阵,用Adj表示。逆矩阵是原矩阵的伴随矩阵除以行列式,表示为$A^{-1}$。
具体来说,如果$A$是一个n阶方阵,其伴随矩阵为$Adj(A)$,则有:
$$
A\cdot Adj(A)=|A|\cdot E_n
$$
其中,$E_n$为n阶单位矩阵。当$|A|
eq0$时,$A$存在逆矩阵$A^{-1}$,其式子如下:
$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot Adj(A)
$$
三、克拉默法则
克拉默法则是另一种求解方阵问题的方法。它的基本思想是将原方程组转化为n个含有未知数$x_i$的方程组,每个方程组都去掉系数矩阵中与$x_i$所对应的列,再计算一个行列式,用求得的行列式分别除以原方程组的系数矩阵的行列式,即可得出$x_i$的值。
具体来说,如果有n个未知数$x_1,x_2,\cdots,x_n$,则将原方程组:
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\
\cdots \\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
\end{cases}
$$
转化为n个方程组:
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1i-1}x_{i-1}+a_{1i+1}x_{i+1}+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2i-1}x_{i-1}+a_{2i+1}x_{i+1}+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\
\cdots \\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{ni-1}x_{i-1}+a_{ni+1}x_{i+1}+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
\end{cases}
$$
其中,除每个方程组的第i个方程中的$x_i$外,其余未知数的系数和常数与原方程组一致。然后用克拉默法则求出$x_i$。
四、实例分析
最后,我们以具体的例子来看一看方阵问题的解决过程。考虑一个3阶方程组:
$$
\begin{cases}
2x+3y+z=17 \\
x-y+5z=23 \\
-x+4y+z=-5
\end{cases}
$$
我们将它表示成系数矩阵的形式:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & 5 \\
-1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
17 \\
23 \\
-5
\end{pmatrix}
$$
然后,我们可以用行列式求解该方程组:
$$
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\
1 & -1 & 5 \\
-1 & 4 & 1
\end{vmatrix}=(-1)^{1+3}\cdot(-12)=12
$$
$$
\begin{vmatrix}
17 & 3 & 1 \\
23 & -1 & 5 \\
-5 & 4 & 1
\end{vmatrix}=(-1)^{1+1}\cdot12=12
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & 17 & 1 \\
1 & 23 & 5 \\
-1 & -5 & 1
\end{vmatrix}=(-1)^{1+2}\cdot12=-12
$$
$$
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 17 \\
1 & -1 & 23 \\
-1 & 4 & -5
\end{vmatrix}=(-1)^{1+3}\cdot12=-12
$$
施州阿峰:阿富汗酒店发生枪战 有中国公民受伤 ♂
施州阿峰:阿富汗酒店发生枪战 有中国公民受伤快讯!阿富汗一酒店发生枪战,酒店内长期居住着大量中国商人。
这家酒店位于阿富汗首都喀布尔,这家酒店名叫桂园酒店,因为里面有中餐厅和超市,许多前往喀布尔的中国商人都喜欢居住在这里。
当地时间12月12日的下午,有三名袭击者在这个酒店与塔利班发生了枪战。
施工企业中层管理岗位(施工单位管理岗位) ♂
施工企业中层管理岗位(施工单位管理岗位)企业,就是赚钱的机构,不能赚钱,就不能生成,员工同样,不能在本岗位上创造价值,就没有存在的必要。
董事长在中层管理人员大会上的讲话--精辟
有一件事,感觉自己挺受侮辱的。在一家民营医院干的时候,老板对我很不待见,一般中层以上的岗位他都喜欢安插自己人。我是办公室主任,这个位置先前是他的一位男同学担任的,后来男同学回了原单位,这个岗位一直空缺,没有合适的人。后来负责招聘的副院长就在Boss直聘上聊了我,邀请我过去谈一谈,经过一番面试,院长也拍板了,他们打算留下来试用。干了一段时间,才知道环境挺复杂的,两个股东面和心不和,正负院长唱反调,人尽皆知,大老板和院长是一派,他们起先打算把我收买了,和他们一起对付另一个股东,但我觉得我一个打工的没有必要,就一直保持中立,没有倒向哪一边,于是大老板就不高兴了,想换人,只可惜他的亲近里边没有可用之人。有一天我们正在开会,老板来了,兴冲冲地拿了几盒茶叶,放在会议室的桌子上,然后又看见我也在,斜睨了我一眼,眉头皱了一皱,把车钥匙递给我,说是让我给他到楼下的车里拿一个小包。其实我心里清楚,他就是想把茶叶给别人,又嫌我在,所以就故意支开了我。等我上来的时候,茶叶就分到了每个人的手里,我心里想,缺德的老板,老子有自知之明的,知道和你不是一路人,也知道自己级别不够,我本来就没有觊觎你的茶叶,你把我像小孩子一样的戏耍有意思吗?懂不懂得尊重人?反正我感觉这件事挺受伤害的,关键是在场所有人都明白这是怎么回事。
#2022职场年终盘点#
#从今天起记录我的2023#
进入新岗位最大的感受就是以前蒙着头干业务,虽然也要和人打交道,但毕竟打交道的人比较单一,也都是业务往来,没有那么多的弯弯绕。
现在不一样了,进入管理岗后,打交道的人的层级首先提升了,以前做业务时见不到的某些领导(或者人家当时压根就不想见我),现在因为我身份的转变,对方开始有选择性的接触我。
对,为什么说是有选择性的接触呢,这个问题我问过我最早的一个领导,领导说,站在对方的角度,一方面他正在审视你和他的接触关系,另一方面盘算的最多的就是和你接触能够为他带来什么好处。
是的没错,职场上的接触,实际上都带着很强的目的性,看似平时称兄道弟你好我好,一旦涉及到利益的时候,都会有所取舍和决断。
其实我当时还问了我以前的老领导很多经验,但是老领导给出的答案只有一个:上层搞政治,中层搞业务,下层戳是非。
我才进入管理岗,而且论排位也在属于老末,再加上我从管业务的中层岗位调整到不管业务的岗位,还在慢慢的适应中。
加油吧骚年,2022年开始成长,2023年就茁壮成长吧。
施工企业中层管理面试问题(施工项目经理面试问题) ♂
施工企业中层管理面试问题(施工项目经理面试问题)记住以下几点,轻松施工跳槽甲方#我要上微头条#
大多施工人跳槽甲方总是透着几分不自信,做好以下几点,大概率进甲方。
面试技巧:
1、自我介绍中突出所作出的成绩(参与项目的体量、取得的市级或省及荣誉),对岗位的认知和工作中的思路。
2、现场管理中的进度、安全、质量三方面侧重回答进度(目前开发节奏比较快,开盘和交楼的进度和完成质量甲方比较在意),回答内容要侧重包含人材机的需求计划及各个职能口的配合内容。
3、资金支付不及时的情况下怎么说服总包配合现场。(目前由于国家的调控,各大放弃资金比较紧张。)
4、如果应聘中层要回答一下怎么带领团队。
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